Un angle polyèdre régulier étant donné, si l’on en retranche toutes les arêtes, par des plans passant par son sommet et respectivement perpendiculaires aux plans qui divisent ses angles dièdres en deux parties égales ; de telle sorte que les parties retranchées soient des angles trièdres isocèles et égaux ; ce qui restera de l’angle polyèdre sera un nouvel angle polyèdre, dont le nombre des faces pourra indistinctement, suivant la grandeur des angles trièdres retranchés, être égal au nombre de celles du premier ou en être double ; et qui, dans l’un et dans l’autre cas, pourra être régulier comme lui.
Les notions que nous venons de présenter, ou plutôt de rappeler, sont extrêmement élémentaires, et pourraient même passer pour triviales. Nous pensons toutefois qu’elles sont une utile introduction à ce que nous nous proposons de dire sur les polyèdres.
Nous dirons, à l’avenir de deux polyèdres qu’ils sont conjugués l’un à l’autre, lorsqu’ayant le même nombre d’arêtes, le nombre des faces de chacun sera égal au nombre des sommets de l’autre, et qu’en outre le nombre des côtés de chaque face de l’un quelconque sera égal au nombre des faces du sommet homologue de l’autre. Nous ne donnons, pour le moment, aucun exemple de ces sortes de polyèdre, la suite devant en fournir d’assez nombreux.
On est convenu de n’appeler polyèdres réguliers que les polyèdres dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux et dont, en outre, tous les sommets présentent des angles polyèdres réguliers égaux ; d’où l’on voit qu’un polyèdre régulier peut fort bien avoir pour conjugué un autre polyèdre régulier.
Mais, attendu l’excessive exigeance de cette définition, on est raisonnablement fondé à se demander s’il peut réellement exister des polyèdres réguliers. Avant de traiter cette question, on peut s’en proposer une autre moins circonscrite, et se demander s’il peut exister des polyèdres, réguliers ou non, dans lesquels toutes les faces aient le même nombre de sommets, et tous les sommets le même nombre de faces.
