La manière la plus naturelle de traiter cette dernière question paraît être la suivante : Soient le nombre des arêtes du polyèdre, le nombre de ses faces, et le nombre de ses sommets ; supposons, en outre, que chacune de ses faces ait sommets et conséquemment côtés, et que chacun de ses sommets ait faces et conséquemment arêtes.
Si l’on compte, tour-à-tour, les côtés de toutes les faces, on les trouvera au nombre de mais, de cette manière, on aura compté deux fois chacune des arêtes du tétraèdre, puisque chacune d’elles sert de côté à deux faces consécutives ; donc
Si ensuite, on compte, tour-à-tour, les arêtes de tous les sommets, on les trouvera au nombre de mais, de cette manière, on aura encore compté deux fois chacune des arêtes du tétraèdre, puisque chacune d’elles sert d’arête à deux sommets consécutifs ; donc
Enfin, par le théorème d’Euler (Annales, tom. III, pag, 169), on aura, en outre
Voilà donc trois équations, au moyen desquelles on peut déterminer en fonction de
Avant d’aller plus loin, nous ferons remarquer que, ces équations restant les mêmes lorsqu’on y permute à la fois et et ; il s’ensuit que, s’il existe des polyèdres dont toutes les faces aient le même nombre de sommets et tous les sommets le même nombre de faces ; à chacun d’eux il en doit répondre un autre, qui en sera le conjugué.
De ces trois équations on tire
