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RECHERCHES

$F={\frac {4{\mathcal {f}}}{2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s}},\qquad \qquad S={\frac {4s}{2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s}},$

$A={\frac {2{\mathcal {f}}}{2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s}}.$

Il s’agit donc présentement de savoir s’il y a des nombres entiers positifs, plus grands que l’unité, qui, mis pour ${\mathcal {f}}$ et $s$ dans ces formules, donnent pour $F,S,A$ des valeurs entières et positives. Nous disons plus grands que l’unité, et non pas plus grands que deux, puisque, suivant les remarques faites ci-dessus, un polygone peut fort bien n’avoir que deux sommets, et un angle polyèdre deux faces seulement.

Il faut donc, en premier lieu, que le dénominateur commun de ces trois formules ne soit point négatif ; or, si l’on pose, à la fois,

${\mathcal {f}}=6+{\mathcal {f}}',\qquad s=3+s',$

on aura

$2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s=-{\mathcal {f}}'-4s'-{\mathcal {f}}'s'\,;$

qui sera négatif, toutes les fois qu’on n’aura pas en même temps ${\mathcal {f}}'=0,s'=0.$ Pareillement, si l’on pose, à la fois,

${\mathcal {f}}=3+{\mathcal {f}}',\qquad s=6+s',$

on aura

$2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s=-s'-4{\mathcal {f}}'-{\mathcal {f}}'s'\,;$

quantité qui est pareillement négative, toutes les fois que ${\mathcal {f}}'$ et $s'$ ne sont pas tous deux nuls.

Ainsi, les deux nombres ${\mathcal {f}}$ et $s$ ont une limite de grandeur qui est 6, et encore ne faut-il pas, lorsque l’un d’eux a atteint cette limite, que l’autre soit supérieur à 3.