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SUR LES POLYÈDRES.

Si, dans le même dénominateur commun, on fait ${\mathcal {f}}$ ou $s=5,$ il deviendra

$10-3s\quad$ou$\quad 10-3{\mathcal {f}},$

et, pour qu’il ne soit point négatif, il faudra encore que $s$ ou ${\mathcal {f}}$ ne soit pas plus grand que 3.

Si, dans le même dénominateur, on fait ${\mathcal {f}}$ ou $s=4\,;$ il deviendra $2(4-s)\quad$ou$\quad 2(4-{\mathcal {f}})\,;$

et, pour qu’il ne soit point négatif, il faudra que $s$ ou ${\mathcal {f}}$ n’excède pas 4.

Si nous supposons ${\mathcal {f}}=2,$ nos formules deviennent

$F=2,\qquad S=s,\qquad A=s\,;$

valeurs qui seront toujours entières et positives, quelque valeur entière et positive qu’on donne à $s.$ C’est qu’en effet, tout polygone peut être considéré comme un polyèdre à deux faces, dans lequel les faces ont le même nombre de sommets, et où les sommets ont le même nombre de faces qui est ici deux ; mais c’est un polyèdre qui renferme un espace nul.

Si nous supposons $s=2,$ nos formules deviendront

$F={\mathcal {f}},\qquad S=2,\qquad A={\mathcal {f}}\,;$

valeurs qui seront toujours entières et positives, quelque valeur entière et positive qu’on prenne pour ${\mathcal {f}}.$ Cest qu’en effet tout prisme indéfini peut être comme un polyèdre à deux sommets, dans lequel les sommets ont le même nombre de faces, et où les faces ont le même nombre de sommets qui est ici deux mais c’est un polyèdre qui renferme un espace infini.

On peut remarquer de plus qu’un polygone et un prisme tels que le nombre des sommets du premier soit égal au nombre des