finie, le polyèdre sera d’une grandeur infinie ; si donc on le suppose convexe, une portion finie de sa surface pourra être considérée comme un plan ; ces trois cas nous indiquent donc de combien de manières on peut couvrir un plan avec des polygones, de telle sorte que tous ces polygones aient le même nombre de côtés et qu’ils soient réunis en même nombre autour de chaque sommet ; on peut donc parvenir à ce but, savoir ;
1.o En couvrant le plan, soit de triangles se réunissant au nombre de autour de chaque sommet, soit d’hexagones se réunissant au nombre de autour de chaque sommet ; et ces deux systèmes de polygones seront conjugués l’un à l’autre.
2.o En couvrant le plan de quadrilatères, se réunissant au nombre de autour de chaque sommet ; et un tel système sera conjugué à lui-même.
On peut encore envisager la chose sous un autre point de vue ; on peut supposer les polygones infiniment petits et alors le polyèdre, qui sera d’une grandeur finie deviendra un corps terminé par une surface courbe. Ainsi, une surface courbe se refermant d’elle-même telle, par exemple, qu’un ellipsoïde peut être découpée en portions infiniment petites, soit triangulaires se réunissant au nombre de autour de chaque sommet, soit hexagonales se réunissant au nombre de autour de chaque sommet, soit enfin quadrangulaires se réunissant au nombre de autour de chaque sommet.
On voit donc que, s’il peut exister des polyèdres réguliers, ce ne saurait être que parmi ceux que nous venons de rencontrer ; et la manière la plus simple de s’assurer qu’ils existent en effet, et en même nombre, est celle qu’emploie M. le professeur Lhuilier (Annales, tom. III, pag. 233), et qui consiste à rechercher de combien de manières on peut réunir, par leurs sommets, des pyramides régulières égales entre elles, assemblées en même nombre autour de chaque arête latérale, de telle sorte que ces pyramides remplissent l’espace entier autour de leur sommet commun, et
