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RECHERCHES

forment ainsi, par leur réunion, un polyèdre unique qui sera évidemment régulier.

Soit $F$ le nombre des faces du polyèdre, lequel sera en même temps le nombre des pyramides ; soient $S$ le nombre de ses sommets et $A$ le nombre de ses arêtes ; soient enfin $s$ le nombre des sommets de la base de chaque pyramide ; et ${\mathcal {f}}$ le nombre des pyramides qui se réunissent autour de chaque arête latérale ; désignons enfin par $x$ chacun des angles dièdres latéraux de ces pyramides, rapporté à l’angle droit dièdre ; l’angle polyèdre du sommet aura pour expression (pag. 275 de ce volume) $sx-2(s-2)$ ou $s(x-2)+4,$ l’angle droit trièdre étant l’unité. Il faudra donc, d’une part, que la somme des angles dièdres, autour de chaque arête latérale, fasse quatre angles droits, ce qui donnera

${\mathcal {f}}x=4\,;$

et il faudra, en outre, que la somme des angles polyèdres autour du sommet commun fasse $8$ angles droits trièdres ; c« qui donnera encore

$F\left[s(x-2)+4\right]=8\,;$

éliminant $x$ entre ces deux équations, on en tirera, comme ci-dessus,

$F={\frac {4{\mathcal {f}}}{2({\mathcal {f}}+s)-{\mathcal {f}}s}}\,;$

et, comme d’ailleurs on aura encore, comme alors

$sF=2A,\qquad F+S=A+2,$

les valeurs de $S$ et $A$ seront aussi les mêmes que ci-dessus.

Ainsi les polyèdres réguliers sont,