1.o Le tétraèdre, conjugué à lui-même ;
2.o L’hexaèdre et l’octaèdre, conjugués l’un à l’autre ;
3.o Le dodécaèdre et l’icosaèdre, conjugués l’un à l’autre ;
4.o La sphère divisée en compartimens triangulaires équilateraux infinimens petits, et la sphère divisée en compartimens hexagonaux réguliers infiniment petits, conjuguées aussi l’une à l’autre, et auxquelles on pourrait substituer deux plans indéfinis, en donnant aux compartimens une grandeur finie ;
5.o Enfin la sphère divisée en quarrés infiniment petits, conjuguée à elle-même, et à laquelle on peut subtituer un plan indéfini, en donnant aux quarrés une grandeur finie.
Mais il faut encore joindre à cela, 1.o tous les polygones réguliers, à partir de la ligne droite et à finir par le cercle ; 2.o tous les prismes réguliers, à partir de deux plans parallèles et à finir par le cylindre de révolution ; ces derniers étant les conjugués des premiers ; ce sont en effet de véritables polyèdres réguliers, dont les premiers embrassent une étendue nulle, tandis que l’étendue, embrassée par les derniers, est infinie.
Il est donc vrai de dire que, rigoureusement parlant, et même en faisant abstraction des polyèdres étoilés de M. Poinsot, les polyèdres réguliers sont en nombre infini, et constamment conjugués soit à eux-mêmes soit deux à deux, ce qui n’avait pas encore été remarqué ; mais parmi ces polyèdres il n’y en a que seulement qui renferment un espace réel et fini ; et parmi ces il en est seulement dont les faces ont une grandeur finie.
Deux polyèdres réguliers conjugués peuvent être inscrits ou circonscrits l’un à l’autre ; et même le problème de l’inscription ou de la circonscription d’un polyèdre régulier à son conjugué est un problème indéterminé, à moins pourtant qu’on ne demande le plus petit des inscrits ou le plus grand des circonscrits ; auquel cas les sommets de l’un devraient être les centres des faces de l’autre.
