L’indétermination du problème dans les autres cas donne lieu aux deux questions suivantes.
PROBLÈME I. Quel est, sur les faces d’un polyèdre régulier donné, le lieu des sommets de tous les polyèdres réguliers conjugués qui peuvent lui être inscrits ?
PROBLÈME II. Quelle est, pour un polyèdre donné, la surface enveloppe de l’espace parcouru par les faces d’un autre polyèdre régulier, conjugué à celui-là, et variable de grandeur, qui lui est constamment circonscrit ?
Le premier de ces deux problèmes, résolu seulement pour le cas du cube et de l’octaèdre, par Mairan, dans le volume de l’académie royale des sciences pour 1725, a été déjà proposé dans le présent recueil : l’autre ne l’a encore été nulle part.
Concevons que l’on érige sur chacune des faces d’un polyèdre régulier quelconque, comme sur autant de bases, des pyramides régulières et égales, ayant leurs sommets hors de ce polyèdre ; ces pyramides, jointes au polyèdre donné, formeront un nouveau polyèdre qui, généralement parlant, ne sera pas régulier. Si, dans deux pyramides consécutives, on considère les deux faces latérales qui ont pour base commune une même arête du polyèdre primitif ; suivant la hauteur commune qu’on aura donné aux pyramides, ces deux faces pourront être dans un même plan ou dans des plans différens ; dans le premier cas, les faces du nouveau polyèdre, en nombre égal à celui des arêtes du premier, et ayant ses arêtes pour diagonales seront des rhombes ; dans le second, elles seront en nombre double de celui de ses arêtes et seront toutes triangulaires. Dans ce dernier cas, on pourra même donner aux pyramides une hauteur telle que tous les sommets du nouveau polyèdre soient réguliers ; mais ils n’auront pas tous, en général, un même nombre de faces.
Concevons ensuite qu’au contraire on retranche tous les sommets du polyèdre primitif, par des plans tellement dirigés que les parties
