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RECHERCHES

de considérer étant au nombre de $5$ et chacun d’eux pouvant donner naissance à quatre corps semi-régulier, ces derniers auraient dû être au nombre de $20$ ; mais d’abord nous avons rencontré parmi eux l’hexaèdre et l’octaèdre réguliers ; de plus, en passant les autres en revue, on en rencontre qui sont répétés ; de sorte qu’en ne tenant compte que de ceux qui sont essentiellement différens, sans être réguliers, leur nombre se réduit à dix ; de telle sorte que ceux qui dérivent de polyèdres réguliers conjugués l’un à l’autre sont les mêmes. De plus ces dix polyèdres semi-réguliers sont, deux à deux, conjugués l’un à l’autre ; de manière que le semi-régulier par excès de l’une quelconque des deux classes est conjugué avec le semi-régulier par défaut de même classe qui dérive du même polyèdre régulier, ainsi qu’on en peut juger par le résumé que voici.

1.^o Un polyèdre à 18 arêtes, ayant $12\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces\ triangulaires}}\\&{\rm {sommets\ tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $8\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $4\left\{{\begin{aligned}&{\rm {tri{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {triangulaires}}\end{aligned}}\right\}$ et $4\left\{{\begin{aligned}&{\rm {hexa{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {hexagonales}}\end{aligned}}\right\}$.

2.^o Un polyèdre à 24 arêtes, ayant $12\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces\ quadrangulaires}}\\&{\rm {sommets\ t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $14\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $6\left\{{\begin{aligned}&{\rm {tri{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {triangulaires}}\end{aligned}}\right\}$ et $8\left\{{\begin{aligned}&{\rm {t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {quadrangulaires}}\end{aligned}}\right\}$.

3.^o Un polyèdre à 36 arêtes, ayant $24\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces\ triangulaires}}\\&{\rm {sommets\ tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $14\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $6\left\{{\begin{aligned}&{\rm {t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {quadrangulaires}}\end{aligned}}\right\}$ et $8\left\{{\begin{aligned}&{\rm {hexa{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {hexagonales}}\end{aligned}}\right\}$.

4.^o Un polyèdre à 60 arêtes, ayant $30\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces\ quadrangulaires}}\\&{\rm {sommets\ t{\acute {e}}tra{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $32\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $20\left\{{\begin{aligned}&{\rm {tri{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {triangulaires}}\end{aligned}}\right\}$ et $12\left\{{\begin{aligned}&{\rm {penta{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {pentagonales}}\end{aligned}}\right\}$.

5.^o Un polyèdre à 90 arêtes, ayant $60\left\{{\begin{aligned}&{\rm {faces\ triangulaires}}\\&{\rm {sommets\ tri{\grave {e}}dres}}\end{aligned}}\right\}$

et $32\left\{{\begin{aligned}&{\rm {sommets}}\\&{\rm {faces}}\end{aligned}}\right\}$ dont $20\left\{{\begin{aligned}&{\rm {hexa{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {hexagonales}}\end{aligned}}\right\}$ et $12\left\{{\begin{aligned}&{\rm {penta{\grave {e}}dres}}\\&{\rm {pentagonales}}\end{aligned}}\right\}$.

Si nous passons présentement aux trois cas de la sphère divisée