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SUR LES POLYÈDRES.

$\left.{\begin{aligned}&A={\frac {2{\mathcal {f}}(s+s')}{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)(s+s')}},\\&F={\frac {4(s+s')}{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)(s+s')}},\\&S={\frac {4{\mathcal {f}}}{4{\mathcal {f}}-({\mathcal {f}}-2)(s+s')}}.\end{aligned}}\right\}\quad$(II)

3.^o Soient enfin $2F$ le nombre des faces d’un polytdre dont $F$ de $s$ et $F$ de $s'$ sommets ; $2S$ le nombre de ses sommets, dont $S$ de ${\mathcal {f}}$ et $S$ de ${\mathcal {f}}'$ faces ; et enfin $A$ le nombre de ses arêtes ; nous aurons les équations

${\begin{aligned}(s+s')F=&2A,\\({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')S=&2A,\\2F+2S=&A+2\,;\end{aligned}}$

desquelles nous tirerons

$\left.{\begin{aligned}&A={\frac {2({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')(s+s')}{4\left[({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')+(s+s')\right]-({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')(s+s')}},\\&F={\frac {4({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')}{4\left[({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')+(s+s')\right]-({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')(s+s')}},\\&S={\frac {4(s+s')}{4\left[({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')+(s+s')\right]-({\mathcal {f}}+{\mathcal {f}}')(s+s')}}.\end{aligned}}\right\}\quad$(III)

Il s’agit donc présentement de satisfaire à ces trois systèmes de formules avec des nombres entiers positifs ; mais auparavant nous remarquerons que les formules (I, II) se changeant les unes dans les autres, lorsqu’on y change $F$ en $S,{\mathcal {f}}$ en $s$ et ${\mathcal {f}}'$ en $s'\,;$ chaque solution des formules (I) nous donnera une solution des formules (II) ; et, de plus, ces solutions correspondantes appartiendront à deux