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RACINES

cas douteux : la trigonométrie rectiligne elle-même n’en est point exempte. Si $c,c'$ représentent deux quelconques des côtés d’un triangle, et $a,a'$ les angles opposés ; on a $\operatorname {Sin} .a'={\frac {c'}{c}}\operatorname {Sin} .a\,:$ cette formule présente un cas douteux, que quelques auteurs seulement ont signalé (V. Trig. rect. de Bezout, n.^o 267) : l’angle $a'$ peut être aigu ou obtus et il faut une considération particulière pour lever le doute. Ce n’est pas tout : l’incertitude cesse, et il n’y a plus qu’une solution dans trois cas, savoir ; 1.^o si l’angle $a$ est droit ou obtus ; 2.^o si $a$ étant aigu $a'$ est droit ; 3.^o enfin, si $a$ étant aigu $c$ n’est pas moindre que $c'.$ Je rapporte ce dernier exemple, de préférence à d’autres, parce que la discussion à laquelle il donne lieu ne se trouve dans aucun de nos traités élémentaires, où cependant elle mériterait de trouver place^[1].

↑ Nous prendrons la liberté d’observer à M. Bérard que ces exemples ne nous paraissent pas très-heureusement choisis relativement à ce qu’il se propose d’établir. De même, en effet, qu’on ne saurait réputer meilleur celui qui se tait à certaines questions qu’on lui adresse ; on ne saurait dire pareillement qu’une formule n’est pas généralement vraie, parce que, dans certains cas, elle devient ${\frac {0}{0}}\,;$ puisqu’alors même elle ne cesse pas d’être vraie. On dit bien que, pour de tels cas, elle se trouve en défaut ; mais il n’en demeure pas moins évident que, pour ces mêmes cas, elles ne sauraient induire en erreur celui qui les consulte.
Quant à la formule $\operatorname {Sin} .a'={\frac {c'}{c}}\operatorname {Sin} .a,$ elle n’est jamais en défaut. Ce n’est point, en effet, l’angle $a'$ qu’elle est destinée à faire connaître, mais seulement son sinus ; et ce sinus, elle le donne toujours tel qu’il doit être. Mais, comme ce même sinus répond à deux angles distincts ; lorsque nous voulons passer de lui à l’angle auquel il répond, nous nous trouvons dans le même cas que si nous voulions résoudre une équation du second degré ; c’est-à-dire, dans le même cas où se trouve celui qui interrogeant quelqu’un en reçoit pour réponse : ce que vous me demandez est telle chose ou telle autre ; et certes, il n’y a encore rien là de contraire à la vérité.

J. D. G.

[1] Nous prendrons la liberté d’observer à M. Bérard que ces exemples ne nous paraissent pas très-heureusement choisis relativement à ce qu’il se propose d’établir. De même, en effet, qu’on ne saurait réputer meilleur celui qui se tait à certaines questions qu’on lui adresse ; on ne saurait dire pareillement qu’une formule n’est pas généralement vraie, parce que, dans certains cas, elle devient ${\frac {0}{0}}\,;$ puisqu’alors même elle ne cesse pas d’être vraie. On dit bien que, pour de tels cas, elle se trouve en défaut ; mais il n’en demeure pas moins évident que, pour ces mêmes cas, elles ne sauraient induire en erreur celui qui les consulte.
Quant à la formule $\operatorname {Sin} .a'={\frac {c'}{c}}\operatorname {Sin} .a,$ elle n’est jamais en défaut. Ce n’est point, en effet, l’angle $a'$ qu’elle est destinée à faire connaître, mais seulement son sinus ; et ce sinus, elle le donne toujours tel qu’il doit être. Mais, comme ce même sinus répond à deux angles distincts ; lorsque nous voulons passer de lui à l’angle auquel il répond, nous nous trouvons dans le même cas que si nous voulions résoudre une équation du second degré ; c’est-à-dire, dans le même cas où se trouve celui qui interrogeant quelqu’un en reçoit pour réponse : ce que vous me demandez est telle chose ou telle autre ; et certes, il n’y a encore rien là de contraire à la vérité.

J. D. G.

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