Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/367

359

IMAGINAIRES.

${\begin{alignedat}{2}a\ &=5^{-6}B-4.5^{-5}r'A\,;&b\ &=4r'AC-5BC-2p'A^{2}\,;\\c\ &=5B^{2}-4r'AB-5AC-3q'A^{2}\,;&d\ &=5^{-6}A\,;\\a'&=2.5^{-5}cd-Aa^{2}-Bad-Cd^{2}\,;&\quad b'&=5^{-5}c^{2}-2Aab-Bac-Bbd-2Ccd\,;\\c'&=-Ab^{2}-Bbc-Ce^{2}=c'\,;&&\end{alignedat}}$

il vient

$5^{-5}d^{2}z^{3}+a'z^{2}+b'z+c'=0.\qquad$(3)

Réunissant le facteur $z-p's',$ trouvé plus haut, à l’équation (3), on a enfin, pour l’équation $Z=0,$

$\left(z-p's'\right)\left(5^{-5}d^{2}z^{3}+a'z^{2}+b'z+c'\right)=0,$

Pour que la proposée ait toutes ses racines réelles, il faudra

1.^o Que $Z=0$ n’ait que des permanences, c’est-à-dire qu’on devra avoir, à la fois,

$a'>0,\qquad b'>0,\qquad c'>0,\qquad p's'<0\,;$

2.^o Qu’en outre $X'=0$ ait toutes ses raeines réelles, ce qui exige qu’on ait

$25.27p'^{2}+4p'r'(32r'^{2}-135q')+9q'^{2}(15q'-4r'^{2})<0.$

La proposée n’aura que trois racines réelles dans deux cas, savoir d’abord si, $X'=0$ ayant toutes ses racines réelles, $Z=0$ a une variation ; ensuite, si $X'=0$ ayant deux racines imaginaires, $Z=0$ n’a point de variations ou en a deux seulement.

Enfin, la proposée aura quatre racines imaginaires dans deux cas, savoir d’abord si, $X'=0$ ayant ses trois racines réelles, $Z=0$ a deux variations ; ensuite, si, $X'=0$ ayant deux racines imaginaires, $Z=0$ a une ou trois variations.