Pour comprendre ce qui vient d’être dit, relativement aux cas de deux ou de quatre racines imaginaires dans la proposée, il faut faire attention que nous l’avons délivrée de son pénultième terme, pour faciliter l’élimination, et, en même temps, pour que la courbe aie toujours quatre sommets ou deux, et jamais aucun. Si l’on donne à l’axe des toutes les positions dont il est susceptible, on se rendra facilement compte des conditions que nous avons assignées pour les trois cas de racines imaginaires.
On voit, au reste, que les conditions de réalité de toutes les racines sont ici au nombre de ou et non pas au nombre de ou comme l’a trouvé Lagrange, dans l’ouvrage déjà cité (note III)[1]. Il est même à présumer, par ce qui a lieu pour le 3.me degré, que ce nombre de peut encore être réduit.
Degrés supérieurs au cinquième. Les équations qui nous ont servi pour le 5.me degré, ne suffisent plus pour tous les cas au-delà de ce degré. Mais, avant d’aller plus loin, fixons bien les idées sur la signification de nos diverses équations.
donne les abscisses des sommets de la courbe résultat de l’élimination de entre ces deux-là donne les ordonnées de ces mêmes sommets ; ses racines réelles positives ou ses variations indiquant les sommets en dessus de l’axe des et les négatives ou les permanences indiquant les sommets en dessous du même axe. L’auxiliaire résultat de l’élimination de entre et fait connaître, par ses racines réelles positives ou par ses variations, le nombre des sommets convexes vers l’axe des et par ses racines négatives ou par ses permanences, le
- ↑ Mais, encore un coup, Lagrange ajoute, à la fin de la même note :
Il est possible que quelques-unes de ces conditions se trouvent renfermées dans le système des autres, ce qui en diminuerait le nombre, comme nous l’avons vu pour le quatrième degré.
J. D. G.
