nombre des sommets concaves vers le même axe ; enfin, chaque variation vraie, ou chaque sommet convexe, répond à un couple de racines imaginaires dans
Lorsqu’on demande le nombre des racines imaginaires de du degré on est censé savoir déterminer le nombre de celles d’une équation d’un degré inférieur. La courbe a un nombre de sommets réels, suivant que a racines imaginaires.
La courbe a des formes diverses, qu’on peut classer par le nombre des sommets apparens. Ainsi, pour le 4.me degré, il y a deux formes possibles : la première qui offre trois sommets, et la seconde qui n’en offre qu’un seul. Dans toutes deux, l’axe peut être placé de manière à laisser un sommet en dessus, en sorte que a une variation dans les deux cas ; mais, dans le premier, l’axe coupant les quatre branches, il en résulte quatre racines réelles ; tandis que, dans le second, l’axe ne rencontrant aucune branche, les quatre racines sont imaginaires. Voilà donc un cas douteux, dont l’incertitude ne saurait être levée par l’équation c’est le cas de l’équation de M. Servois ; mais on voit en même temps que le doute est levé par la dérivée car, suivant que celle-ci aura ou n’aura pas ses trois racines réelles, la proposée aura zéro ou quatre racines imaginaires.
Dans le cinquième degré, la courbe a ou sommets. Le cas de quatre sommets se subdivise en deux, dont l’un présente deux sommets concaves en dessus et deux en dessous, tandis que l’autre offre deux sommets, l’un concave et l’autre convexe, tant en dessus qu’en dessous. Ce dernier cas est celui de l’équation de M. Tédenat ; a deux variations et deux permanences, et a toutes ses racines réelles ; de sorte qu’on ne sait si doit avoir ou racines imaginaires. Pour lever le doute, il faut recourir à La proposée aura cinq ou une racines réelles, suivant que aura ou permanences. C’est ce qu’on vérifie facilement
