Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/370

362

RACINES

sur l’équation de M. Tédenat, pour laquelle on trouve deux valeurs positives et deux valeurs négatives de $z.$

Première méthode générale. À mesure que le degré de l’équation s’élève, le nombre des cas douteux s’accroit aussi. J’ai trouvé, par voie d’induction, que les seuls cas certains sont ceux qui répondent à $0,1,m-2,m-1$ variations de $Y=0,$ pour les degrés impairs, et à $0,m-2,m-1$ variations, pour les degrés pairs ; en sorte qu’il n’y a que quatre cas certains dans les degrés impairs, et trois seulement dans les degrés pairs. Dans ces cas, le théorème contesté^[1] donnera, avec certitude le nombre cherché des racines imaginaires : dans les autres, il faudra lever le doute, en consultant les équations $X'=0,\ Z=0.$ Il est même quelque cas douteux où ces deux équations ne suffiront pas.

Deuxième méthode. Si l’on connaissait le nombre $R_{p}$ des racines réelles positives de $Z=0,$ ce serait aussi le nombre des sommets convexes de la courbe, dont chacun indique deux racines imaginaires dans $X=0.$ Donc, en appelant $I$ le nombre des racines imaginaires de $X=0,\ I'$ celui des imaginaires de $X'=0,$ lequel est le même pour $Z=0,$ on aurait la relation $I=I'+2R_{p}.$ Ce principe a aussi été employé par M. Cauchy (Journ. de l’école polytech., cahier XVII, pag. 462).

La question est donc ramenée à celle-ci : étant donné une équation $Z=0,$ dont on connaît le nombre $I$ des racines imaginaires ; trouver le nombre $R_{p}$ de ses racines réelles positives ?

J’ai donné une solution de ce problème préliminaire dans mon ouvrage (Méthodes nouvelles, etc., pag. 71). Les calculs en sont

1. Personne n’a jamais prétendu contester la vérité du théorème de M. Bérard, pour des cas particuliers. Ce que MM. Tédenat et Servois ont fait un peu plus que de contester, c’est l’universalité que, dans son ouvrage, M. Bérard avait cru devoir attribuer à ce théorème.
   J. D. G.