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IMAGINAIRES.

prolixes ; mais j’ai trouvé (pag. 65) un théorème qui fournit une solution très-simple pour les douze premiers degrés.

Remarquons d’abord qu’un facteur imaginaire du 2.^me degré $z^{2}\pm 2\alpha z+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})$ multipliant un polynôme réel $P\,;$ le produit $Z$ ne peut acquérir que deux variations ou deux permanences de plus que n’en avait $P,$ et jamais une variation et une permanence. Ainsi, par exemple, dans une équation du 3.^me degré, il y a toujours ou trois variations ou trois permanences, ou deux variations et une permanence, ou enfin une variation et deux permanences ; or, dans le 3.^me cas, c’est la permanence qui indique la racine réelle, tandis que les variations répondent aux racines imaginaires : dans le 4.^me cas c’est l’inverse.

En combinant ce lemme avec la règle de Descartes, on peut assigner le nombre $R_{p}$ des racines réelles positives de $Z=0,$ et celui des négatives ; à l’exception de certains cas douteux, pour desquels il faut recourir au théorème suivant.

Lorsque, dans une équation

$z^{n}+Az^{n-1}+Bz^{n-2}+Cz^{n-3}+\ldots =0,$

on connaît le nombre $I$ des racines imaginaires, s’il arrive que, par la règle de Descartes, combinée avec le lemme précédent, on ne puisse discerner complètement le nombre des racines réelles positives et celui des négatives, en sorte qu’il en reste deux douteuses, qui soient toujours de mêmes signes, alors ces racines douteuses seront toutes deux négatives ou routes deux positives, suivant que la fonction

$(n-1)^{2}A^{3}-n(3n-4)AB+3n^{2}C\qquad$(F)

sera positive ou négative.

Soit, par exemple, l’équation