qui revient à
et dans laquelle nous supposons qu’on ait reconnu deux racines imaginaires. Comme elle a deux variations et cinq permanences, nous en conclurons, par le précédent lemme, qu’elle doit avoir au moins trois racines réelles négatives ; mais que, si elle en a davantage, elles doivent être alors au nombre de cinq ; cette équation a donc deux racines réelles de même signe, douteuses par rapport à leur signe commun, parce que le facteur imaginaire du second degré a pu également introduire ou deux variations ou deux permanences ; mais le doute est complètement levé par l’inspection du signe de (F) qui, dans cet exemple, vaut ce qui indique deux racines positives. La proposée, outre ses deux racines imaginaires, a donc trois racines réelles négatives et deux positives, comme on le voit d’ailleurs par sa seconde forme.
Revenons présentement au problème principal. Ayant trouvé, comme nous venons de le faire, le nombre des racines positives de on aura le nombre des racines imaginaires de par l’équation Ainsi, dans l’exemple précédent, on a
Au surplus, rien ne sera plus facile que de construire, pour chaque degré, une table des valeurs de qui répondent aux diverses valeurs de et du nombre des variations de Nous avons construit, pour les douze premiers degrés, une semblable table, qui ne nous a coûté que quelques heures de travail, et que nous plaçons à la suite de ce mémoire. Les cases blanches se rapportent aux cas impossibles ; et celles qui renferment deux nombres se rapportent aux cas douteux, et pour lesquels on prend le plus petit ou le plus grand des deux nombres, suivant que (F) est positif
