Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/384

376

FORMULES

$y=a+x\Delta a+x(x-1)\Delta ^{2}a+x(x-1)(x-2)\Delta ^{3}a$

$+x(x-1)(x-2)(x-3)\Delta ^{4}a+\ldots \,;$

de sorte qu’il s’agira d’intégrer

$y\operatorname {d} x=a\operatorname {d} x+x\operatorname {d} x.\Delta a+x(x-1)\operatorname {d} x.\Delta ^{2}a$

$+x(x-1)(x-2)\operatorname {d} x.\Delta ^{3}a+\ldots$

depuis $0$ jusqu’à $n.$

8. Procédant donc à l’intégration, et observant que l’intégrale doit s’évanouir en même temps que $x$, il viendra

${\begin{aligned}\int y\operatorname {d} x&=a.x\\&+\Delta a.{\frac {x^{2}}{2}}\\&+\Delta ^{2}a\left({\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\\&+\Delta ^{3}a\left({\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {3x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{2}}{2}}\right)\\&+\Delta ^{4}a\left({\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {6x^{4}}{4}}+{\frac {11x^{3}}{3}}-{\frac {6x^{2}}{2}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

résultat dans lequel il faudra supposer ensuite $x=n.$

9. Mais il est clair qu’en rendant $n$ fois plus grand l’intervalle entre les ordonnées consécutives, on a aussi, rendu $n$ fois plus grande l’aire de la courbe à quarrer, c’est-à-dire, l’intégrale demandée ; d’où il suit que la véritable valeur de cette intégrale n’est gue la n.^me partie de celle que nous venons de lui assigner ; c’est-à-dire qu’elle est égale à cette intégrale divisée par $x$, et prise ensuite jusqu’à $x=n.$ En posant donc, pour abréger,