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THÉORIE GÉNÉRALE
![{\displaystyle {\frac {B''}{A''}}-{\frac {B'}{A''}}={\frac {A'B''-B'A''}{A'A''}}={\frac {bb'b''\ldots \beta \beta '\beta ''}{A'A''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ea64cd805edded6a0eff3eb7c2b1a6e2a12daa)
mais nous avons trouvé ci-dessus
![{\displaystyle A''=A\beta ''+A'\alpha ''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcedd85d6823ed294f28031ffe960a2385a738e5)
posant donc
![{\displaystyle {\frac {A}{A'}}.{\frac {\beta ''}{\alpha ''}}=\omega '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bfbe3de6a2f179e4913d26c8c095e6aa5453c3)
ce qui donnera nécessairement ![{\displaystyle \omega ''<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d970387b4532374e12386544e68ee25de63f0f8)
on aura
![{\displaystyle A''=A'\alpha ''(1+\alpha ''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50721042fc9254c8dee5dc20819a8a29e0e6d44b)
et l’on aurait semblablement
![{\displaystyle A'=A\alpha '(1+\alpha ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa380f6dd70b2bcb25d45afcd702377898983ef4)
d’où on conclurait, en multipliant,
![{\displaystyle A''=A\alpha '\alpha ''(1+\omega ')(1+\omega '')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48c6ab896df197bfe0ce8ff959f5df35a37e7eb)
on aura donc généralement
![{\displaystyle A''=aa'a''\ldots \alpha \alpha '\alpha ''(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1ea2268ebcf6b00706490696d14619ed8ec25)
étant des quantités positives, plus petites que l’unité.
On aura donc ainsi ;
![{\displaystyle A'A''=A'aa'a''\ldots \alpha \alpha '\alpha ''(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f65529518d0868951166838481a56631dd97127)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {B''}{A''}}-{\frac {B'}{A'}}={\frac {1}{A'}}.{\frac {{\cfrac {b}{a}}.{\cfrac {b'}{a'}}.{\cfrac {b''}{a''}}\ldots {\cfrac {\beta }{\alpha }}.{\cfrac {\beta '}{\alpha '}}.{\cfrac {\beta ''}{\alpha ''}}}{(1+o)(1+o')(1+o'')\ldots (1+\omega )(1+\omega ')(1+\omega '')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4c90ea82edaa6e22579c9f5563dfeb8c42e9d2)
et comme on a les inégalités.