43
DES FRACTIONS CONTINUES.
![{\displaystyle b<a,\quad b'<a',\quad b''<a'',\ldots \beta <\alpha ,\quad \beta '<\alpha ',\quad \beta ''<\alpha '',\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06422c251cd44e6f83f2725a8b3059d7ef9367a0)
il s’ensuit que la différence
devient de plus en plus petite,
à mesure qu’on s’avance dans la série des fractions convergentes,
puisque d’ailleurs le dénominateur
croit très-rapidement.
Cherchons présentement la différence entre la fraction
et la fraction continue
![{\displaystyle x={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {\ldots }{+{\cfrac {\beta }{\alpha +{\cfrac {\beta '}{\alpha '+{\cfrac {\beta ''}{y}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03bce4f5d3c78039696c4bf6e63ec426f52aeb14)
étant quelconque, mais plus grand que
Il viendra
![{\displaystyle x-{\frac {B'}{A'}}={\cfrac {B'y+B\beta ''}{A'y+A\beta ''}}-{\cfrac {B'}{A'}}={\cfrac {(BA'-AB')\beta ''}{A'(A'y+A\beta '')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70add903df458edbaeaba4bc711294dca670be79)
on aura pareillement
![{\displaystyle x-{\frac {B}{A}}={\cfrac {B'y+B\beta ''}{A'y+A\beta ''}}-{\cfrac {B}{A}}={\cfrac {(AB'-BA')y}{A(A'y+A\beta '')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea9bdcb51f248f7c8a06b6602fb9ac9a9c7bfa)
divisant ces deux équations l’une par l’autre, on trouve
![{\displaystyle {\frac {x-{\frac {B'}{A'}}}{x-{\frac {B}{A}}}}=-{\frac {B\beta ''}{A'y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec830c72b18fafb4914feae91e9b2b8df36cea4)
or, on a, par hypothèse
donc
est moindre que
et l’on voit de plus qu’ils sont des signes contraires ; ainsi,
si l’on a
on aura
et vice versâ ; ainsi, dans tous