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DES FRACTIONS CONTINUES.

$b<a,\quad b'<a',\quad b''<a'',\ldots \beta <\alpha ,\quad \beta '<\alpha ',\quad \beta ''<\alpha '',\quad$

il s’ensuit que la différence ${\frac {B''}{A''}}-{\frac {B'}{A'}}$ devient de plus en plus petite, à mesure qu’on s’avance dans la série des fractions convergentes, puisque d’ailleurs le dénominateur $A'$ croit très-rapidement.

Cherchons présentement la différence entre la fraction ${\frac {B'}{A'}}$ et la fraction continue

$x={\cfrac {b}{a+{\cfrac {b'}{a'+{\cfrac {b''}{a''+{\cfrac {\ldots }{+{\cfrac {\beta }{\alpha +{\cfrac {\beta '}{\alpha '+{\cfrac {\beta ''}{y}}}}}}}}}}}}}}$

$y$ étant quelconque, mais plus grand que $\beta ''.$ Il viendra

$x-{\frac {B'}{A'}}={\cfrac {B'y+B\beta ''}{A'y+A\beta ''}}-{\cfrac {B'}{A'}}={\cfrac {(BA'-AB')\beta ''}{A'(A'y+A\beta '')}}\,;$

on aura pareillement

$x-{\frac {B}{A}}={\cfrac {B'y+B\beta ''}{A'y+A\beta ''}}-{\cfrac {B}{A}}={\cfrac {(AB'-BA')y}{A(A'y+A\beta '')}}\,;$

divisant ces deux équations l’une par l’autre, on trouve

${\frac {x-{\frac {B'}{A'}}}{x-{\frac {B}{A}}}}=-{\frac {B\beta ''}{A'y}}\,;$

or, on a, par hypothèse $A'>A,\ y>\beta ''\,;$ donc $x-{\frac {B'}{A'}}$ est moindre que $x-{\frac {B}{A}},$ et l’on voit de plus qu’ils sont des signes contraires ; ainsi, si l’on a $x<{\frac {B}{A}},$ on aura $x>{\frac {B'}{A'}}$ et vice versâ ; ainsi, dans tous