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THÉORIE GÉNÉRALE
les cas, la valeur exacte de
se trouvera comprise entre deux
fractions convergentes consécutives quelconques
mais plus
voisine de la seconde que de la première ; puis donc que, comme
nous l’avons vu ci-dessus, la différence entre ces deux fractions
décroit rapidement, à mesure qu’on s’avance dans la série des fractions convergentes, il s’ensuit qu’elles s’approchent aussi très-rapidement de la véritable valeur de
dont elles diffèrent alternativement par excès et par défaut, ce qui justifia pleinement leur dénomination.
Ce qui précède, suppose, à la vérité, que toutes les fractions
intégrantes sont positives ; mais, dans le cas contraire, il est toujours facile de transformer la fraction continue en une autre qui n’en
renferme que de telles ; on a, en effets
![{\displaystyle a-{\cfrac {q}{p}}=(a-1)+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q}{p-q}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e1ea82a68ce9a7b7a918daf09198e1a25fcfb9)
![{\displaystyle a-{\cfrac {q}{p-{\cfrac {q'}{p'}}}}=(a-1)+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q}{p-q-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q'}{p'-q'}}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c12ae3d9e55a5646b650c4f6dc0fbbc369cb13)
![{\displaystyle a-{\cfrac {q}{p-{\cfrac {q'}{p'-{\cfrac {q''}{p''}}}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e5a096c69de044bebb44ddcf516d8a35cef7bf)
![{\displaystyle (a-1)+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q}{p-q-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q'}{p'-q'-1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {q''}{p''-q''}}}}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da1c1a8f9aa0d9162437fea0d1f754639cf3616)
et ainsi de suite.
On conclut de cette transformation que la nouvelle fraction continue
remplira, à la fois, la condition de ne renfermer que des fractions
intégrantes positives et celle de la convergence, si l’on a
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&q\,\ <p\ \ -q\,\ -1,\\&q'\,<p'\,-q'\,-1,\\&q''<p''-q''-1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right\}{\text{d’où}}\left\{{\begin{aligned}&p\,\ >2q\,\ +1,\\&p'\,>2q'\,+1,\\&p''>2q''+1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf59abb40a63ad423b24eae05c588157378bf16)