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THÉORIE GÉNÉRALE
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}C&=BA'-AB',&\quad C'&=BA''-AB'',&\quad C''&=BA'''-AB''',\ldots ,\\D&=CB'-BC',&D'&=CB''-BC'',&D''&=CB'''-BC''',\ldots ,\\E&=DC'-CD',&E'&=DC''-CD'',&E''&=DC'''-CD''',\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0848b2ebf43bb63be49ec2e751bd3bdaa2d46ab4)
que l’on conclut des équations ci-dessus, en y chassant les dénominateurs ; et exprimant ensuite qu’elles sont identiques.
Si les deux termes de la fraction valeur de
au lieu de procéder
suivant les puissances de
procédaient suivant celles de
il ne
s’agirait que d’y traiter
ainsi que nous venons de traiter
dans
le développement général ; et si une puissance de
se trouvait être facteur soit du numérateur soit du dénominateur, on la ferait préalablement passer soit comme diviseur soit comme multiplicateur de
ce qui ramènerait la question au premier cas.
Pour premier exemple, prenons la fonction
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x={\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots }{1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d353f2348f0735a4e6286a7bc130a0e9fa36ca)
nous écrirons d’abord
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\frac {1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-\ldots }{1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34a98a752e2ed823e687ac84fc7b5f669a2e927)
traitant alors
comme
dans le second membre, il viendra
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}A&=1,&\quad A'&=-{\frac {1}{2!}},&\quad A''&=+{\frac {1}{4!}},&\quad A'''&=-{\frac {1}{6!}},&\quad A''''&=+{\frac {1}{8!}},\ldots \\\\B&=1,&B'&=-{\frac {1}{3!}},&B''&=+{\frac {1}{5!}},&B'''&=-{\frac {1}{7!}},&B''''&=+{\frac {1}{9!}},\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8daf509523f5d207e5d1339de08d2ae8bc88c752)