Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/51

47

DES FRACTIONS CONTINUES.

$C=-{\frac {2}{3!}},\quad C'=+{\frac {4}{5!}},\quad C''=-{\frac {6}{7!}},\quad C'''=+{\frac {8}{9!}},\ldots$

$D=+{\frac {2.8}{3!5!}},\quad D'=-{\frac {4.12}{3!7!}},\quad D''=+{\frac {6.16}{3!9!}},\ldots$

$E=+{\frac {2.8.48}{3!5!7!}},\quad E'=-{\frac {4.12.64}{3!5!9!}},\ldots$

$F=-{\frac {2.8.48.128}{3!5!7!9!}},\ldots$

Nous avons donc finalement

$A=+1,\ B=+1,\ C=-{\tfrac {1}{3}},\ D=+{\tfrac {1}{45}},\ E=+{\tfrac {1}{4725}},\ F=-{\tfrac {1}{13395375}},\ldots \,;$

puis donc qu’on doit avoir

${\frac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\cfrac {B}{A+{\cfrac {Cx^{2}}{B+{\cfrac {Dx^{2}}{C+{\cfrac {Ex^{2}}{D+{\cfrac {Fx^{2}}{E+\ldots }}}}}}}}}},$

on aura

${\frac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {{\cfrac {1}{3}}x^{2}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{45}}x^{2}}{-{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {{\cfrac {1}{4725}}x^{2}}{{\cfrac {1}{45}}-{\cfrac {{\cfrac {1}{13395375}}x^{2}}{{\cfrac {1}{4725}}+\ldots }}}}}}}}}},$

ce qui donne, en amenant successivement les numérateurs à être entiers négatifs, et en multipliant ensuite par $x^{2}.$

$x\operatorname {Tang} .x={\cfrac {x^{2}}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{\cfrac {x^{2}}{9-{\cfrac {x^{2}}{11-\ldots }}}}}}}}}}}}$

résultat dont la loi est manifeste, et qui, quel que soit $x$ satis-