Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/52

48

THÉORIE GÉNÉRALE

fera à la condition de convergence, pourvu qu’on le pousse assez loin.

Si l’on transforme cette expression en une autre dont tous les termes soient positifs, d’après les formules trouvées ci-dessus, on obtiendra

${\cfrac {\operatorname {Tang} .x}{x}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{2-x^{2}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{4-x^{2}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{6-x^{2}+\ldots }}}}}}}}}}}}\,;$

d’où il suit que, pourvu que l’on prenne $x^{2}<2-x^{2}$ ou $x<1,$ cette fraction continue convergera, à partir de l’origine, vers la véritable valeur de ${\frac {\operatorname {Tang} .x}{x}}\,;$ dans tout autre cas, elle finira toujours par être convergente, pourvu qu’on la prolonge suffisamment.

Soit $x={\frac {\varpi }{4}},$ nous aurons $\operatorname {Tang} .x=1,$ et notre formule deviendra

${\frac {4}{\varpi }}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{3-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{5-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{7-{\cfrac {\left({\cfrac {\varpi }{4}}\right)^{2}}{9-\ldots }}}}}}}}}}$

Nous savons qu’on ${\frac {\varpi }{4}}<1,$ soit donc, s’il est possible, ${\frac {\varpi }{4}}={\frac {n}{m}},\ m$ et $n$ étant deux nombres entiers premiers entre eux, tels que $n<m\,;$ il viendra, en substituant,

${\frac {n}{m}}=1-{\cfrac {n^{2}}{3m^{2}-{\cfrac {n^{2}}{5-{\cfrac {n^{2}}{7m^{2}-{\cfrac {n^{2}}{9-{\cfrac {n^{2}}{11m^{2}-\ldots }}}}}}}}}}$

or, cette équation est absurde, car son second membre est une fraction continue qui, ne se terminant pas et étant convergente, en la prolongeant suffisamment, doit avoir une valeur incommensurable, tandis que son premier membre est une fraction rationnelle ;