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DES FRACTIONS CONTINUES.

il est donc absurde de supposer que ${\frac {\varpi }{4}}$ est égal à une pareille fraction, $\varpi$ est donc incommensurable.

Prenons, pour second exemple, la fonction

$e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots \,;$

nous aurons ici

${\begin{array}{llllll}A=1,&A'=0,&A''=0,&A'''=0,&A''''=0,&\ldots \\B=1,&B'=1,&B''={\frac {1}{2!}},&B'''={\frac {1}{3!}},&B''''={\frac {1}{4!}},&\ldots \\C=-1,&C'=-{\frac {1}{2!}},&C''=-{\frac {1}{3!}},&C'''=-{\frac {1}{4!}},&\ldots \\D=-{\frac {1}{2!}},&D'=-{\frac {2}{3!}},&D''=-{\frac {3}{4!}},&\ldots \\E=-{\frac {1}{2!3!}},&E'=-{\frac {2}{2!4!}},&\ldots \\F=+{\frac {1}{2!3!4!}},&\ldots \end{array}}$

Nous aurons donc finalement

$A=1,\quad B=1,\quad C=-1,\quad D=-{\frac {1}{2}},\quad E=-{\frac {1}{12}},\quad F=+{\frac {1}{144}},\ldots$

ce qui donnera, en substituant

$xe^{x}={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{3+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{5+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{7+{\cfrac {x}{2-{\cfrac {x}{9+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

résultat dont la loi est manifeste.

On a, d’après cela