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DES ÉQUATIONS.

Cette équation est encore, comme ci-dessus, celle qui donne les ordonnées des sommets de la courbe parabolique, lesquels sont ici, en général, au nombre de trois : l’intermédiaire a sa convexité tournée vers le haut : les deux extrêmes ont la leur tournée vers le bas ; et les deux branches infinies de la courbe se prolongent en haut, celle de droite vers la droite, et celle de gauche vers la gauche.

En supposant donc ces trois sommets réels et distincts, on voit, 1.^o que la proposée ne pourra avoir ses quatre racines réelles qu’autant que l’axe des $x$ se trouvera compris entre la tangente au sommet intermédiaire et celle au sommet extrême dont la tangente est la plus voisine de celle-là ; 2.^o que la proposée aura deux racines réelles inégales et deux autres égales, si l’axe des $x$ est tangent soit au sommet intermédiaire soit à celui des deux extrêmes qui est le plus élevé ; 3.^o qu’elle aura deux couples de racines égales, si l’axe des $x$ est à la fois tangent aux deux sommets extrêmes ; 4.^o qu’elle aura deux racines réelles inégales et deux racines imaginaires, si l’axe des $x$ se trouve compris entre les tangentes aux deux sommets extrêmes ; 5.^o qu’elle aura deux racines égales et deux racines imaginaires, si l’axe des $x$ est tangent au sommet extrême le moins élevé ; 6.^o qu’enfin ses quatre racines seront imaginaires si l’axe des $x$ tombe au-dessous de cette dernière tangente.

Tout cela revient évidemment à dire, 1.^o que l’équation $X=0$ ne pourra avoir ses quatre racines réelles et inégales qu’autant que l’équation $Y=0$ aura une racine positive et deux racines négatives ; 2.^o que l’équation $X=0$ aura deux racines réelles inégales et deux racines imaginaires, si l’équation $Y=0$ a deux racines positives et une négative ou trois racines négatives ; 3.^o que l’équation $X=0$ aura enfin ses quatre racines imaginaires, si les racines de l’équation $Y=0$ sont toutes trois positives ; 4.^o qu’en particulier, l’équation $X=0$ aura ou deux racines égales ou deux couples de racines égales, suivant que l’équation $Y=0$ sera dépourvue de son dernier ou de ses deux derniers termes, et que, dans le premier cas,