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DES DÉVELOPPANTES

${\frac {\frac {2x}{(mq)^{2}}}{\operatorname {Sin} .x}}\,;$

faisant $x=mq,$ on a, suivant que $m-1$ est divisible par deux seulement ou par quatre,

$B_{m}=\pm {\frac {2}{mq}}\,;$

ainsi

${\tfrac {1}{\operatorname {Cos} .x}}={\tfrac {2}{q}}\left\{{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}}}-{\tfrac {1}{3}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}}}+{\tfrac {1}{5}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}}}-\ldots \pm {\tfrac {1}{m}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}}}\mp \ldots \right\}$

On obtiendra donc le terme général de ${\frac {1}{\operatorname {Cos} .x}},$ en développant toutes ces fractions en progression, et en réunissant les coefficiens de $x^{2n}$ dans les progressions. Il viendra ainsi

$A_{2n}={\frac {2}{q}}\left\{{\frac {1}{q^{2n}}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{(3q)^{2n}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{(5q)^{2n}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {1}{(7q)^{2n}}}-\ldots \right\}$

ou bien, en mettant ${\frac {1}{q^{2n}}}$ en facteur commun, et multipliant de part et d’autre par $\omega ^{2n}$

$A_{2n}\omega ^{2n}=a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}\,;$^[1]

1. On peut déduire assez simplement de ceci la sommation de la série
   $1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \,;$

   car on a

   $A_{2n}={\frac {2}{q^{2n+1}}}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}\,;$

   or, on peut obtenir $A_{2n},$ soit par les équations successives