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DES DÉVELOPPANTES
![{\displaystyle {\frac {\frac {2x}{(mq)^{2}}}{\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fdd1b4ef88d05da0f237e82206c4c8dcd40d55)
faisant
on a, suivant que
est divisible par deux
seulement ou par quatre,
![{\displaystyle B_{m}=\pm {\frac {2}{mq}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0151902ab7318854a2f396b58816001d733652)
ainsi
![{\displaystyle {\tfrac {1}{\operatorname {Cos} .x}}={\tfrac {2}{q}}\left\{{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}}}-{\tfrac {1}{3}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}}}+{\tfrac {1}{5}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}}}-\ldots \pm {\tfrac {1}{m}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}}}\mp \ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771dd4525d89aba1df71c09f6767ae9d0dd5059)
On obtiendra donc le terme général de
en développant toutes
ces fractions en progression, et en réunissant les coefficiens de
dans les progressions. Il viendra ainsi
![{\displaystyle A_{2n}={\frac {2}{q}}\left\{{\frac {1}{q^{2n}}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{(3q)^{2n}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{(5q)^{2n}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {1}{(7q)^{2n}}}-\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff466d9d414a252dd51874b83c9891842488eee7)
ou bien, en mettant
en facteur commun, et multipliant de
part et d’autre par ![{\displaystyle \omega ^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcfab018ff99683de9f13f88920c414e438abc4)
[1]
- ↑ On peut déduire assez simplement de ceci la sommation de la série
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d372d22efe46fc2dde932716bfb4390d6c5472b6)
car on a
![{\displaystyle A_{2n}={\frac {2}{q^{2n+1}}}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f32eebe8bc6dbd705f2ee020cc7d3c9ec11549)
or, on peut obtenir
soit par les équations successives