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CONSÉCUTIVES.
et telle est l’expression générale des coefficiens
qui,
comme on l’a vu, donnent la valeur de la développante
savoir
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
Pour appliquer cette formule à la démonstration du théorème
énoncé, nous prendrons d’abord le cas le plus simple, c’est-à-dire,
celui où l’angle
il est visible qu’alors
tendra vers la
limite constante
puisqu’alors
sera l’unité, et que la série
numérique qui entre dans l’expression de
converge très-promptement vers l’unité. Et, comme les premiers coefficiens
n’affectent que les intégrales
qui, comme on l’a démontré, décroissent indéfiniment ; il en résulte
que, pour
très-grand, on aura sensiblement
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left\{\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacd04c1e51da9fb0739a2ff497dba44b34504b9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{2}={\frac {1}{2!}},\\&A_{4}={\frac {1}{2!}}A_{2}-frac{1}{4!},\\&A_{6}={\frac {1}{2!}}A_{4}-frac{1}{4!}A_{2}+frac{1}{6!},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ca860c4b6b32bc477f12686520bda2b212fd48)
Soit par
en y faisant
en sorte qu’on a
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+{\frac {1}{9^{2n+1}}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\varpi }{2}}\right)^{2n+1}.{\frac {\operatorname {d} ^{2n}.{\rm {{S{\acute {e}}c}.x}}}{\operatorname {d} x^{2n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b4f1dfe7c771ed58af3cc013872c2a03b48c69)