La série formée par ces intégrales a été trouvée (Théor. 1) égale à la projection de la courbe primitive sur la dernière normale Dans le cas où cette projection devient la distance entre deux parallèles qui comprennent les développantes. En la désignant par on a, à la limite,
ainsi, les longueurs des développantes finissent par être constantes L’équation de ces courbes limites est, d’après cela, facile à obtenir, puisque la relation entre les arcs et les angles est donnée, pour les développantes de numéros pairs, par
On a démontré que les intégrales dont toutes les origines étalent décroissaient indéfiniment ; ce dernier terme disparaitra donc à la limite. De plus, les arcs ne s’écartant sensiblement de que lorsqu’ils portent sur la portion négligeable de la série : on peut écrire, pour infini,
Cette relation appartient à la cycloïde dont la longueur totale est ou et dont le demi-grand axe est Il résulte d’ailleurs du mode de génération des développantes de numéros impairs qu’elles seront aussi des cycloïdes égales ; c’est d’ailleurs ce que l’on trouverait directement, par l’expression de
Reprenons présentement le cas général, où l’angle formé par les normales extrêmes, est quelconque. On a vu qu’une développante de numéro impair quelconque était donnée par la formule
