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CONSÉCUTIVES.
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
et qu’on avait généralement
![{\displaystyle a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d950cff59b0eb976764d580f76d8875eb6a8fa)
Pour
très-grand, la série se réduit à l’unité, et l’on a, à la limite
![{\displaystyle a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe963ba36fcb3940f6b01aabe127d749229650a)
on peut donc, en vertu de la convergence de la série
![{\displaystyle \int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512888e018ed7162c09061fd577512117a511bd2)
poser, pour
infini
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{{\frac {q}{\omega }}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{3}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{5}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4dfb2d8d474186b529cb79cb74205be3a63e3c)
}}
On conclut de là que le rapport
de deux développantes
successives d’ordre impair est, à la limite, égal à
mais comme
on a, pour un arc variable, correspondant à l’angle ![{\displaystyle \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d29807959b8784f00e4d77130fd93d90a628df)
![{\displaystyle S_{2n}=\phi \Sigma _{2n-1}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{2n-3}+\ldots \pm {\frac {\phi ^{2n-1}}{(2n-1)!}}\Sigma _{1}\mp \int ^{2n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11be10a3277d337418d60352a57b258d227480e)
on pourra poser, à la limite,
![{\displaystyle S^{2n}={\tfrac {\omega }{q}}\Sigma _{2n+1}=\left\{{\tfrac {\phi }{1}}{\tfrac {q}{\omega }}-{\tfrac {\phi ^{3}}{3!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{3}+{\tfrac {\phi ^{5}}{5!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{5}-\ldots \right\}=\Sigma _{2n+1}.{\tfrac {\omega }{q}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {\phi q}{\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34c805b327f8f1954f6927dba40f19449b3d2a1)
En faisant, dans cette équation,
on aura l’arc total
on peut donc écrire