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DES DÉVELOPPANTES

$S_{2n}=\Sigma _{2n}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {\phi q}{\omega }}\right).$

Telle est donc l’équation de la courbe vers laquelle tendent les développantes d’ordre pair. On trouverait, soit en intégrant cette équation, soit en prenant directement la formule qui donne $S_{2n+1},$

$S_{2n+1}=\Sigma _{2n+1}\left\{1-\operatorname {Cos} .\left({\frac {\phi q}{\omega }}\right)\right\}$, ou $\Sigma _{2n+1}-S_{2n+1}=\Sigma _{2n+1}.\operatorname {Sin} .{\frac {(\varpi -\phi )q}{\omega }}$

Cette équation, comparée avec la précédente, qui donne $S_{2n},$ fait voir que la courbe limite est telle que sa développante est une courbe semblable, mais dans une position inverse. Le rapport de grandeur des arcs correspondans, dans l’un à $\phi$ et dans l’autre à $\omega -\phi ,$ est ${\frac {\Sigma _{2n}}{\Sigma _{2n+1}}}={\frac {q}{\omega }}.$

On peut faire voir assez simplement, par des considérations géométriques, que l’épicycloïde est la courbe qui jouit de cette propriété, et qui a pour équation $S=\Sigma \operatorname {Sin} .\left({\frac {\phi q}{\omega }}\right).$

Concevons, en effet, une épicycloïde ${\rm {AB}}$ (fig. 4) décrite par la demi-révolution d’un cercle dont le rayon est $r$ sur $R$ ; et proposons-nous de trouver le centre de courbure pour un point ${\rm {M}}$ de cette courbe. On sait que la normale au point ${\rm {M}}$ passe par le point de contact des deux cercles ; il ne reste donc, pour connaître le rayon de courbure, qu’à chercher le point d’intersection de deux normales consécutives.

Soient ${\rm {AOP}}=\beta$ et ${\rm {APM}}=\alpha .$ Si le rayon ${\rm {OP}}$ tourne de $\operatorname {d} \beta ,$ la normale ${\rm {MN}}$ tournera de $\operatorname {d} \beta +\operatorname {d} \alpha$ ; or, il est facile de voir que

$\beta R=2\alpha r,\quad$d’où$\quad \operatorname {d} \alpha ={\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta$ ;

l’angle des deux normales consécutives sera donc