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DES DÉVELOPPANTES
![{\displaystyle S_{2n}=\Sigma _{2n}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {\phi q}{\omega }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae622e472b8c60215d408f882bd9676f4dbbb852)
Telle est donc l’équation de la courbe vers laquelle tendent les
développantes d’ordre pair. On trouverait, soit en intégrant cette
équation, soit en prenant directement la formule qui donne ![{\displaystyle S_{2n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021f0d3a8e61676912644afaae535b1d2da861c9)
, ou ![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}-S_{2n+1}=\Sigma _{2n+1}.\operatorname {Sin} .{\frac {(\varpi -\phi )q}{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4871f6d098adec72fc7fd8e29367cbd08746ea17)
Cette équation, comparée avec la précédente, qui donne
fait
voir que la courbe limite est telle que sa développante est une
courbe semblable, mais dans une position inverse. Le rapport de
grandeur des arcs correspondans, dans l’un à
et dans l’autre à
est
![{\displaystyle {\frac {\Sigma _{2n}}{\Sigma _{2n+1}}}={\frac {q}{\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c606449f2676e9a0a8ea26bd94801ac7cbc5443b)
On peut faire voir assez simplement, par des considérations géométriques, que l’épicycloïde est la courbe qui jouit de cette propriété, et qui a pour équation
Concevons, en effet, une épicycloïde
(fig. 4) décrite par la
demi-révolution d’un cercle dont le rayon est
sur
; et proposons-nous de trouver le centre de courbure pour un point
de cette
courbe. On sait que la normale au point
passe par le point de
contact des deux cercles ; il ne reste donc, pour connaître le rayon
de courbure, qu’à chercher le point d’intersection de deux normales
consécutives.
Soient
et
Si le rayon
tourne de
la
normale
tournera de
; or, il est facile de voir que
![{\displaystyle \beta R=2\alpha r,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201bdb6e6b8bcdb785e7d8d84c8281ba312a2030)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} \alpha ={\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83569ccd51166daa4808c33fa1e3046d429e74f1)
;
l’angle des deux normales consécutives sera donc