les fasse devenir, toutes deux, des nombres triangulaires ; on proposera un problème dépendant des doubles égalités ; et comme, en faisant , ces fonctions deviennent respectivement
on dira que le nombre est un de ceux qui résolvent le problème.
Ces sortes de questions ont été un des objets des nombreux travaux de Fermat sur l’analise indéterminée ; mais vu l’extrême difficulté de la matière, cet illustre géomètre s’est borné au cas où il s’agit de rendre les fonctions proposées des quarrés parfaits ; et encore n’a-t-il considéré que des fonctions entières d’une variable unique, n’excédant pas le second ou tout au plus le quatrième degré. Nous ne nous proposons point ici d’étendre ses méthodes à des fonctions plus nombreuses, ou d’une forme plus compliquée ; mais nous voulons faire voir que le cas où l’on exige que deux fonctions algébriques entières d’une seule variable deviennent, par une détermination convenable de cette variable, deux nombres polygones d’une même espèce donnée quelconque, ou même des nombres d’une forme un peu plus générale, et comprenant ceux-là, comme cas particuliers, se ramène très-facilement au cas où les deux fonctions proposées doivent-être des quarrés.
1. Soient, en premier lieu, les deux fonctions du second degré
dont les derniers termes sont déjà des nombres triangulaires, dont les racines respectives sont et , puisque
et proposons-nous de faire devenir ces fonctions elles-mêmes des nombres triangulaires, par une même valeur de z, différente de
