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ÉGALITÉS.

zéro. Pour y parvenir, nous représenterons les racines respectives des deux nombres cherchés par

$\alpha z+12\,;\qquad \beta z+3\,;$

et, en exprimant que les deux conditions du problème sont satisfaites, nous aurons les deux équations

$5z^{2}+8z+78={\tfrac {(\alpha z+12)(\alpha z+13)}{2}},\quad 4z^{2}+2z+6={\tfrac {(\beta z+3)(\beta z+4)}{2}}.$

En chassant les dénominateurs, développant, réduisant et divisant par $z,$ ces deux équations deviendront

$z\alpha ^{2}+25\alpha -2(5z+8)=0,\qquad z\beta ^{2}+7\beta -4(2z+1)=0\,;$

équations d’où on tire

$\alpha ={\frac {-25\pm {\sqrt {40z^{2}+64z+625}}}{2z}},\qquad \beta ={\frac {-7\pm {\sqrt {32z^{2}+16z+49}}}{2z}}\,;$

et, comme il faut que $\alpha$ et $\beta$ soient rationnels, on voit que tout se réduit, ainsi que nous l’avions annoncé, à trouver une valeur de $z$ qui rende à la fois des quarrés les deux fonctions

$40z^{2}+64z+625,\qquad 32z^{2}+16z+49.$

Ces fonctions deviennent toutes deux des quarrés, savoir ; $39^{2}$ et $25^{2}$ en faisant $z=4\,;$ on trouve alors

$\alpha ={\frac {7}{4}},\qquad \beta ={\frac {9}{4}},$

ou

$\alpha =-8,\qquad \beta =-9,$

et les racines des nombres triangulaires deviennent ainsi