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ÉGALITÉS.
zéro. Pour y parvenir, nous représenterons les racines respectives des deux nombres cherchés par
![{\displaystyle \alpha z+12\,;\qquad \beta z+3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc683ea2ce29b516ff6c5fcd66ab0ab9adc3104f)
et, en exprimant que les deux conditions du problème sont satisfaites, nous aurons les deux équations
![{\displaystyle 5z^{2}+8z+78={\tfrac {(\alpha z+12)(\alpha z+13)}{2}},\quad 4z^{2}+2z+6={\tfrac {(\beta z+3)(\beta z+4)}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1760130a360d4deaab29da3c1117b71205e146b5)
En chassant les dénominateurs, développant, réduisant et divisant
par
ces deux équations deviendront
![{\displaystyle z\alpha ^{2}+25\alpha -2(5z+8)=0,\qquad z\beta ^{2}+7\beta -4(2z+1)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7d552584bd8035be4d829b53853ee31f877062)
équations d’où on tire
![{\displaystyle \alpha ={\frac {-25\pm {\sqrt {40z^{2}+64z+625}}}{2z}},\qquad \beta ={\frac {-7\pm {\sqrt {32z^{2}+16z+49}}}{2z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff4eb7a11cc49516b36d1474c847c6d131e310)
et, comme il faut que
et
soient rationnels, on voit que tout se réduit, ainsi que nous l’avions annoncé, à trouver une valeur de
qui rende à la fois des quarrés les deux fonctions
![{\displaystyle 40z^{2}+64z+625,\qquad 32z^{2}+16z+49.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbb2cb8032d03f7d7c9cb93c7864d8ab0424954)
Ces fonctions deviennent toutes deux des quarrés, savoir ;
et
en faisant
on trouve alors
![{\displaystyle \alpha ={\frac {7}{4}},\qquad \beta ={\frac {9}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1665298629f80a5a301830c0d83e58559e40f10c)
ou
![{\displaystyle \alpha =-8,\qquad \beta =-9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696fac782a09f051d301c97adac578b79d73ab5)
et les racines des nombres triangulaires deviennent ainsi