Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/121

115

ÉGALITÉS.

${\frac {p\alpha ^{2}+q\alpha -2A'}{2p\alpha +(qa-A)}}={\frac {p\beta ^{2}+q\beta -2B'}{2p\beta +(qb-B)}}\,;$

équation indéterminée qui renferme tous les systèmes de valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui peuvent résoudre le problème.

12. Soient, en troisième lieu, les deux fonctions

${\begin{aligned}&(Az+G)(A'z+G'),\\&(Bz+H)(B'z+H')\,;\end{aligned}}$

qu’il faille rendre de la forme

${\frac {pt^{2}+qt}{2}},$

par une détermination convenable de $z,$ en remarquant d’une part que ces deux fonctions sont la même chose que

${\begin{aligned}&{\frac {2\alpha (Az+G).{\frac {(A'z+G')}{\alpha }}}{2}},\\\\&{\frac {2\beta (Bz+H).{\frac {(B'z+H')}{\beta }}}{2}},\end{aligned}}$

et que d’une autre $pt^{2}+qt$ est le produit des deux facteurs, $pt+q$ et $t,$ tels que le premier moins $p$ fois le second est égal à $q,$ nous pourrons poser les deux conditions

${\begin{aligned}&2\alpha (Az+G)-{\frac {p(A'z+G')}{\alpha }}=q,\\\\&2\beta (Bz+H)-{\frac {p(B'z+H')}{\beta }}=q\,;\end{aligned}}$

lesquelles reviennent à