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DOUBLES

${\begin{aligned}&2(Az+G)\alpha ^{2}-q\alpha -p(A'z+G')=0,\\&2(Bz+H)\beta ^{2}-q\beta -p(B'z+H')=0\,;\end{aligned}}$

et donnent

${\begin{aligned}&\alpha ={\frac {q\pm {\sqrt {8p(Az+G)(A'z+G')+q^{2}}}}{4(Az+G)}},\\\\&\beta ={\frac {q\pm {\sqrt {8p(Bz+H)(B'z+H')+q^{2}}}}{4(Bz+H)}}\,;\end{aligned}}$

et, comme $\alpha$ et $\beta$ doivent être rationnels, il s’ensuit que tout se réduit à trouver une valeur de $z$ qui rende des quarrés les deux fonctions

${\begin{aligned}&8p(Az+G)(A'z+G')+q^{2},\\&8p(Bz+H)(B'z+H')+q^{2}.\end{aligned}}$

Si, au lieu de résoudre les deux équations par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ on les résout par rapport à $z,$ on aura

$z=-{\frac {2G\alpha ^{2}-q\alpha -pG'}{2A\alpha ^{2}-pA'}},\qquad z=-{\frac {2H\beta ^{2}-q\beta -pH'}{2B\beta ^{2}-pB'}}\,;$

et par suite

${\frac {2G\alpha ^{2}-q\alpha -pG'}{2A\alpha ^{2}-pA'}}={\frac {2H\beta ^{2}-q\beta -pH'}{2B\beta ^{2}-pB'}}\,;$

équation indéterminée qui renferme tous les systèmes de valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui peuvent résoudre le problème.

13. Soient enfin les deux fonctions

$Az^{2}+A'z+A'',$