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SÉRIES
![{\displaystyle \Sigma y=\int y\operatorname {d} x-A_{0}y+A_{1}\Delta y-A_{2}\Delta ^{2}y+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aaacb31a1b9ba974445763a9b47679003ea76ae)
(8)
Cette dernière formule nous paraît de beaucoup préférable à la formule ordinaire ; attendu que les nombres de Bernoulli qu’on y introduit, deviennent bientôt excessivement divergens ; tandis qu’au contraire nos
![{\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3a4fe9ecb21e3aed70b09e3e08418177a382d1)
convergent constamment, comme nous l’avons fait remarquer plus haut.
Pour donner une application de nos formules, soit
![{\displaystyle y={\frac {1}{x}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8abe696a5c41a5e2789d938c2d950bb2da69a79)
d’où
![{\displaystyle \quad \int y\operatorname {d} x=\operatorname {l} .x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82954eb778a093fa21792334e5c4d873fe21344)
![{\displaystyle \Delta y=-{\frac {1}{x(x+1)}},\qquad \Delta ^{2}y=+{\frac {1.2}{x(x+1)(x+2)}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd828391bc2af83a493ff44eabcf823c9a7afa8f)
![{\displaystyle \Delta ^{k}y=[-1]^{k}.{\frac {1.2.3\ldots k}{x(x+1)(x+2)\ldots (x+k)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305a76973d79b0c92bf270114e939b82645d4ec3)
alors la formule (6) donnera
![{\displaystyle \Delta \operatorname {l} x={\frac {1}{x}}-{\frac {1.A_{0}}{x(x+1)}}-{\frac {1.2.A_{1}}{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {1.2.3.A_{2}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950699339dfc1b159edd558ed0dd5b9d5fc4cc8f)
d’où on conclura
![{\displaystyle \Delta ^{2}\operatorname {l} x=-{\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1.2.A_{0}}{x(x+1)(x+2)}}+{\frac {1.2.3.A_{1}}{x(x+1)(x+2)(x+3)}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d826995e232b9a814a821a9ccfafe048ccfdb0b0)
et, en général,
![{\displaystyle \Delta ^{k}\operatorname {l} x=(-1)^{k+1}.{\frac {x!}{x}}\left\{{\frac {k!}{(x+k)!}}-{\frac {(k+1)!}{(x+k+1)!}}A_{0}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706399bb5d5a096ad8e3c9590a49268a6ba1f59a)
![{\displaystyle \left.+{\frac {(k+2)!}{(x+k+2)!}}A_{1}-{\frac {(k+3)!}{(x+k+3)!}}A_{2}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ad31524277ac8483ece173338a760496d3e3ec)
Formule plus régulière, plus convergente et plus commode que toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, pour le calcul des différences logarithmiques.