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INDÉTERMINÉE.

$7q+p=0,$

nous aurons

$4n+q=0,$

d’où, en remontant,

${\begin{aligned}q&=-4n,\\p&=+29n,\\x&=2-91n,\\y&=3+211n.\end{aligned}}$

Voilà donc des valeurs entières de $x,y$ fonctions d’un nombre entier $n$ tout-à-fait arbitraire.

Les équations indéterminées dans lesquelles les données et les inconnues sont et doivent être des fonctions entières d’une variable $t,$ se traitent à peu près de la même manière. Soit en effet, en général, entre $x$ et $y,$ une équation de la forme

$\left(a+a't+a''t^{2}+\ldots \right)x+\left(b+b't+b''t^{2}+\ldots \right)y=\left(c+c't+c''t^{2}+\ldots \right),$

dans laquelle $a,b,c,a',b',c',a'',b'',c'',\ldots$ sont supposés des nombres donnés quelconques, et à laquelle il faille satisfaire par des valeurs de $x$ et $y$ fonctions entières de $t\,;$ il est facile de voir, 1.^o que le problème ne sera possible qu’autant que le plus grand commun diviseur des coefficiens de $x$ et $y$ sera en même temps diviseur de la fonction de $t$ qui forme le second membre ; 2.^o que l’équation sera immédiatement résoluble, si l’un des coefficiens est une quantité purement numérique ; 3.^o enfin que, par des transformations plus ou moins nombreuses, on pourra toujours ramener à ce cas celui où les deux coefficiens seront l’un et l’autre des fonctions de $t.$

Soit, en premier lieu, l’équation