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INTÉGRATION APPROCHÉE

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

Comme on a supposé

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}+\ldots ,$

on a, en mettant à la place de $A,B,C,D,$ les valeurs trouvées (6),

${\begin{aligned}y&=q\\&+(x-1)\Delta q\\&+\left(x^{2}-3x+3\right)\Delta ^{2}q\\&+\left(x^{3}-6x^{2}+14x-14\right)\Delta ^{3}q\\&+\left(x^{4}-10x^{3}+41x^{2}-88x+88\right)\Delta ^{4}q\\&+\left(x^{5}-15x^{4}+95x^{3}-335x^{2}+694x-694\right)\Delta ^{5}q\\&+\left(x^{6}-21x^{5}+190x^{4}-985x^{3}+3229x^{2}-6578x+6578\right)\Delta ^{6}q\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Mettant ici, à la place de $x,$ les valeurs successives $2,3,4,\ldots$ on aura

Pour

${\begin{alignedat}{2}x=&2,\ &y=&q+\ \ \Delta q+\quad \Delta ^{2}q,\\=&3,&y=&q+2\Delta q+\ \ 3\Delta ^{2}q+\quad \Delta ^{3}q,\\=&4,&y=&q+3\Delta q+\ \ 7\Delta ^{2}q+10\Delta ^{3}q+\quad 8\Delta ^{4}q,\\=&5,&y=&q+4\Delta q+13\Delta ^{2}q+31\Delta ^{3}q+\ \ 48\Delta ^{4}q+\ \ 26\Delta ^{5}q,\\=&6,&y=&q+5\Delta q+21\Delta ^{2}q+70\Delta ^{3}q+172\Delta ^{4}q+266\Delta ^{5}q+194\Delta ^{6}q,\\\end{alignedat}}$