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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

${\begin{array}{rl}7,&y=q+6\Delta q+31\Delta ^{2}q+133\Delta ^{3}q+\ \ 452\Delta ^{4}q+1126\Delta ^{5}q\\&\quad \qquad +1790\Delta ^{6}q+\ \ 1142\Delta ^{7}q,\\8,&y=q+7\Delta q+43\Delta ^{2}q+226\Delta ^{3}q+\ \ 984\Delta ^{4}q+3386\Delta ^{5}q\\&\quad \qquad +8546\Delta ^{6}q+13672\Delta ^{7}q+\quad 9736\Delta ^{8}q,\\9,&y=q+8\Delta q+57\Delta ^{2}q+355\Delta ^{3}q+1888\Delta ^{4}q+8306\Delta ^{5}q\\&\quad \qquad +28862\Delta ^{6}q+73494\Delta ^{7}q+119112\Delta ^{8}q,\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. En mettant ici, à la place des différences successives de $q$ leurs valeurs en $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ savoir ;

${\begin{array}{rl}\Delta q=&q_{1}-\ \ q_{0},\\2\Delta ^{2}q=&q_{2}-2q_{1}+\quad q_{0},\\6\Delta ^{2}q=&q_{3}-3q_{2}+\ \ 3q_{1}-\quad q_{0},\\24\Delta ^{2}q=&q_{4}-4q_{3}+\ \ 6q_{2}-\ \ 4q_{1}+\ \ q_{0},\\120\Delta ^{2}q=&q_{5}-5q_{4}+10q_{3}-10q_{2}+5q_{1}-q_{0},\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on trouvera

Pour

${\begin{alignedat}{2}x=&2\ldots &\quad 2y=&\quad q_{0}+\quad q_{2},\\3,&\ldots &\quad 2y=&\ \ 2q_{0}-\ \ 3q_{1}+\quad 6q_{2}+\quad q_{3},\\4,&\ldots &\quad 6y=&\quad q_{0}-\ \ 2q_{1}+\quad 3q_{2}+\ \ 2q_{3}+\ \ 2q_{4},\\5,&\ldots &\ \ 60y=&\ \ 7q_{0}-25q_{1}+\ \ 50q_{2}-40q_{3}+65q_{4}+\ \ 13q_{5},\\6,&\ldots &360y=&19q_{0}-72q_{1}+135q_{2}-80q_{3}+45q_{4}+216q_{5}+97q_{6}+\ldots \end{alignedat}}$