Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/347

337

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

ce qui est rigoureusement conforme aux principes du calcul ; on tire, en effet,

${\begin{aligned}{\text{De }}x=2,&\ \ \ 2y=q_{0}+q_{2}=2\,;\\&\qquad \qquad {\text{donc }}y=1=2-1=x-1\,;\\{\text{De }}x=3,&\ \ \ 6y=2q_{0}-3q_{1}+6q_{2}+q_{3}=12\,;\\&\qquad \qquad {\text{donc }}y=2=3-1=x-1\,;\\{\text{De }}x=4,&\ \ \ 6y=q_{0}-2q_{1}+3q_{2}+2q_{3}+2q_{4}=18\,;\\&\qquad \qquad {\text{donc }}y=3=4-1=x-1\,;\\{\text{De }}x=5,&\ 60y=7q_{0}-25q_{1}+50q_{2}-40q_{3}+55q_{4}+13q_{5}=240\,;\\&\qquad \qquad {\text{donc }}y=4=5-1=x-1.\end{aligned}}$

il en sera de même des suivans, de sorte qu’on aura généralement et rigoureusement

$y=Ae^{-x}+x-1.$

16. Exemple III. Soit l’équation

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=x^{2}.$

On aura $Q=x^{2},$ donc

$q_{0}=0,\ q_{1}=1,\ q_{2}=4,\ q_{3}=9,\ q_{4}=16,\ldots$

cela donne

${\begin{array}{rrr}{\text{Pour }}x=2,&2y=\quad \ \ 4,&{\text{donc }}y=2=x^{2}-2x+2,\\x=3,&6y=\quad 30,&5=x^{2}-2x+2,\\x=4,&6y=\quad 60,&10=x^{2}-2x+2,\\x=5,&60y=1020,&17=x^{2}-2x+2,\\x=6,&360y=9360,&26=x^{2}-2x+2,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}$

on aura donc généralement