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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

et ainsi de suite. Ces résultats ne sont pas seulement approximatifs ; mais ils sont exacts, à la rigueur, toutes les fois que la fonction $Q$ est une puissance de $x$ à exposant entier et positif ce qui rend la quantité $e^{x}Q\operatorname {d} x$ intégrable par elle-même. Si cette condition n’est pas remplie, les résultats que nous venons de donner ne seront qu’approximatifs, mais de manière qu’en se servant seulement du diviseur six on aura du moins, dans les cas ordinaires, l’intégrale jusqu’à cinq décimales au moins ; et qu’avec le divisear neuf on pourra aller jusqu’à douze.

2. On rend celle équation un peu plus générale en affectant ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ du facteur constant $n\,;$ elle devient alors

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q.$

Nous avons déjà remarqué qu’elle se réduit facilement à la première, par la simple supposition $x=nx',$ qui donne

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}}=Q'\,;$

$Q'$ étant une fonction de $x',$ plus ou moins différente de la première. Ce procédé fort simple est en effet plus que suffisant dans toutes les intégrations particulières des équations de la forme

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

dans lesquelles $Q$ est une fonction de $x\,;$ mais on serait forcé de le reconnaître insuffisant dans les équations des ordres plus élevés, telles que

$y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=Q,$

$y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+C{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}=Q,$