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DES ÉQUATIONS.

$0=\left(P+Qy+Ry^{2}+\ldots \right)+\left(P'+Q'y+R'y^{2}+\ldots \right)c$

Nous nous occuperons uniquement, dans le présent mémoire, des équations différentielles dont l’intégrale donne la valeur de $y$ en $x$ au premier degré seulement, et où conséquemment cette variable est une fonction rationnelle fractionnaire de la constante $c\,;$ c’est-à-dire, que nous ne considérerons, de l’équation précédente, que le cas très-particulier

$0=(P+Qy)+(P'+Q'y)c.$

6. La différentielle de cette équation est

$0=(\operatorname {d} P+y\operatorname {d} Q+Q\operatorname {d} y)+(\operatorname {d} P'+y\operatorname {d} Q'+Q'\operatorname {d} y)c\,;$

éliminant donc $c$ entre l’une et l’autre, il viendra

$(P+Qy)(\operatorname {d} P'+y\operatorname {d} Q'+Q'\operatorname {d} y)=(P'+Q'y)(\operatorname {d} P+y\operatorname {d} Q+Q\operatorname {d} y)\,;$

ou, en développant et réduisant

${\begin{array}{r|r|r|r|r}PQ'&\operatorname {d} y+P\operatorname {d} P'&+P\operatorname {d} Q'&y+Q\operatorname {d} Q'&y^{2}=0.\\-PQ'&-P'\operatorname {d} P&-P'\operatorname {d} Q&-Q'\operatorname {d} Q&\\&&+Q\operatorname {d} P'&&\\&&-Q'\operatorname {d} P&&\\\end{array}}$

Nous sommes donc fondés à considérer toute équation différentielle de la forme

$V{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+X+X'y+X''y^{2}=0,$