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INTÉGRATION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou $V,X,X',X'',$ sont des fonctions rationnelles et entiers de $x,$ sans $y,$ comme devant avoir une intégrale de la forme

$0=(P+Qy)+(P'+Q'y)c,$

où $c$ est la constante et où $P,P',Q,Q'$ sont également des fonctions rationnelles et entières de $x$ sans $y\,;$ et, si nous nous proposons de remonter à cette intégrale, ces quatre dernières fonctions seront les inconnues du problème.

7. En exprimant que les deux équations différentielles sont identiquement les mêmes, ce qui est permis, puisque nous avons admis des coefficiens à tous les termes, nous aurons

${\begin{aligned}PQ'-QP'&=V,\\P\operatorname {d} P'-P'\operatorname {d} P&=X\operatorname {d} x,\\P\operatorname {d} Q'-P'\operatorname {d} Q+Q\operatorname {d} P'&-Q'\operatorname {d} P=X\operatorname {d} x,\\Q\operatorname {d} Q'-Q'\operatorname {d} Q&=X''\operatorname {d} x.\end{aligned}}$

8. On peut simplifier la troisième équation, en lui ajoutant et lui retranchant successivement la différentielle de la première qui est

$P\operatorname {d} Q'-P'\operatorname {d} Q-Q\operatorname {d} P'+Q'\operatorname {d} P=\operatorname {d} V,$

on a alors pour résoudre le problème les quatre équations

${\begin{aligned}P\operatorname {d} P'-P'\operatorname {d} P&=X\operatorname {d} x,\\Q\operatorname {d} Q'-Q'\operatorname {d} Q&=X''\operatorname {d} x,\\\end{aligned}}$