Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/203

193

DE COMBINAISON.

Si l’on veut faire trois parts, on pourra faire une ou deux parts nulles seulement. On pourra faire une part nulle d’autant de manières qu’il y en a de faire, avec $m$ choses égales, deux parts dont aucune ne soit nulle. On pourra faire deux parts nulles d’une manière unique. En conséquence, et d’après le précédent problème, le nombre des systèmes possibles de répartition sera

${\begin{array}{llcl}{\text{Pour la forme paire}}&6k\quad ,&{\frac {m^{2}}{12}}+{\frac {m}{2}}+1&={\frac {m^{2}+6m+12}{12}},\\\\{\text{Pour la forme impaire}}&6k\pm 1,&{\frac {m^{2}-1}{12}}+{\frac {m-1}{2}}+1&={\frac {m^{2}+6m+5}{12}},\\\\{\text{Pour la forme paire}}&6k\pm 2,&{\frac {m^{2}-4}{12}}+{\frac {m}{2}}+1&={\frac {m^{2}+6m+8}{12}},\\\\{\text{Pour la forme impaire}}&6k\pm 3,&{\frac {m^{2}+3}{12}}+{\frac {m-1}{2}}+1&={\frac {m^{2}+6m+9}{12}}.\end{array}}$

Ici le nombre des systèmes à trois parts égales sera toujours 1, pour les deux formes extrêmes, et zéro pour les deux autres. Quant au nombre des systèmes à deux parts égales, il se trouvera d’abord, pour toutes les formes, augmenté d’une unité, à raison du système à deux parts nulles ; mais, dans les formes paires, il se trouvera encore augmenté d’une unité, à raison du système où deux parts sont égales à la moitié de $m$ et la troisième nulle. Le nombre des systèmes à deux parts égales se trouvera donc ainsi, dans le cas actuel,

${\begin{array}{lll}{\text{Pour la forme }}6k\quad ,&\ldots \ldots {\frac {m-4}{2}}+2&={\frac {m}{2}},\\\\{\text{Pour la forme }}6k\pm 1,&\ldots \ldots {\frac {m-1}{2}}+1&={\frac {m+1}{2}},\\\\\end{array}}$