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PROBLÈMES.

${\begin{array}{lll}{\text{Pour la forme }}6k\pm 2,&\ldots \ldots {\frac {m-2}{2}}+2&={\frac {m+2}{2}},\\\\{\text{Pour la forme }}6k\pm 3,&\ldots \ldots {\frac {m-3}{2}}+1&={\frac {m-1}{2}}.\end{array}}$

Retranchant donc ces nombres de ceux que nous avions trouvés pour le nombre total des systèmes de répartition, et retranchant en outre une unité pour les deux formes extrêmes, à raison des trois parts égales, nous aurons pour le nombre des systèmes où les trois parts sont inégales,

${\begin{array}{llll}{\text{Pour la forme}}&6k\quad ,&{\frac {m^{2}+6m+12}{12}}-{\frac {m}{2}}-1&={\frac {m^{2}}{12}},\\\\{\text{Pour la forme}}&6k\pm 1,&{\frac {m^{2}+6m+5}{12}}-{\frac {m+1}{2}}&={\frac {m^{2}-1}{12}},\\\\{\text{Pour la forme}}&6k\pm 2,&{\frac {m^{2}+6m+8}{12}}-{\frac {m+2}{2}}&={\frac {m^{2}-4}{12}},\\\\{\text{Pour la forme}}&6k\pm 3,&{\frac {m^{2}+6m+9}{12}}-{\frac {m-1}{2}}-1&={\frac {m^{2}+3}{12}}.\end{array}}$

En rapprochant ces résultats de ceux auxquels nous a conduit le troisième problème, on est conduit à en conclure que le nombre des manières de faire trois parts avec $m$ choses égales, lorsqu’on admet des parts nulles, mais qu’on rejette les systèmes dans lesquels plusieurs parts sont égales, est égal au nombre des manières de faire trois parts avec les mêmes choses lorsqu’au contraire l’on admet les systèmes dans lesquels des parts sont égales, mais en rejetant ceux où des parts sont nulles ; d’où l’on peut encore conclure que, dans la totalité des systèmes de répartition, il y en a autant où les parts ne sont pas toutes effectives qu’il y en a où elles ne sont pas toutes inégales.

Veut-on présentement avoir égard à la disposition des parts les