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QUESTIONS.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}},\\\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-2}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n-1}}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704d5c818943032c259011683c8aaa723549b85a)
d’où, en multipliant et réduisant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54cf27c3e285741679e080eaf2e4de3b7e668d7)
Mais comme, à mesure que
augmente,
tend sans cesse à devenir
il s’ensuit que, dans le même cas,
tend sans
cesse à se confondre avec l’arc
de sorte qu’en faisant
infini, on a rigoureusement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{16}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{32}}\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbfcd394b6864ce400a2ca9e9cb5e93f9d3e9dd)
formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc
ce qui en garantit la convergence.
En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres,
on tire de là, en transposant,
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}=\operatorname {Cot} .z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{8}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6121495488c920c73973b47e5507d43cf47bf35d)
(I)