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QUESTIONS.

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}},\\\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-2}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n-1}}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}\,;\end{aligned}}$

d’où, en multipliant et réduisant,

$\operatorname {Sin} .z=2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}.$

Mais comme, à mesure que $n$ augmente, $\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}$ tend sans cesse à devenir ${\frac {z}{2^{n}}}\,;$ il s’ensuit que, dans le même cas, $2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}$ tend sans cesse à se confondre avec l’arc $z\,;$ de sorte qu’en faisant $n$ infini, on a rigoureusement

$\operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{16}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{32}}\ldots \,;$

formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc $z,$ ce qui en garantit la convergence.

En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres, on tire de là, en transposant,

${\frac {1}{z}}=\operatorname {Cot} .z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{8}}+\ldots \qquad$(I)