Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/207

197

RÉSOLUES.

Si l’on pose ensuite $z={\frac {\varpi }{2}},\ \varpi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que $\operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{2}}=0$ et divisant par $2,$ on aura

${\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{16}}+\ldots ,\qquad$(II)

qui est précisément la formule à démontrer.

M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions décroissantes par quotiens ayant $4$ pour raison ; de sorte qu’en prenant pour $n$ un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie

${\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n}}}+{\frac {2}{3.2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n+1}}}.$

L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie

${\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots ,$

où $x$ désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable $y,$ multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant, il obtient

$\int y\operatorname {d} x=C-\left\{\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}+\ldots \right\}\,;$

ou bien