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QUESTIONS.

$\int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .\left(\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots \right)\,;$

observant ensuite que

$\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots ={\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}},$

il en conclut que

$\int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}}=C-\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Log} .x\,;$

d’où, en différentiant et divisant par $\operatorname {d} x,$

$y={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Cot} .x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}\,;$

ce qui donne, en remettant pour $y$ sa valeur et transposant,

${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots \,;$

formule qui est générale quel que soit l’arc $x.$

Si ensuite on suppose $x={\frac {\varpi }{2}},$ on tombe précisément sur la formule proposée à démontrer.