Dans le même cas, on parvient à déterminer, d’une manière très-simple, un système de deux droites dont l’intersection avec le cercle en question donne encore la position des centres des quatre hyperboles équilatères qui résolvent le problème ; mais la démonstration de ces diverses propositions exige l’emploi des principes qui sont, jusqu’à un certain point, étrangers à l’objet actuel de cet article.
On a vu, dans ce qui précède, le rôle qu’on peut faire jouer aux différens lieux des centres des sections coniques assujetties à certaines conditions, pour fixer entièrement la position du centre de la courbe, et par conséquent celle de cette courbe elle-même, quand le nombre de ces conditions ne laisse plus rien d’arbitraire ni d’indéterminé. Il se présente, à ce sujet, une question fort intéressante, et qui nous semble n’avoir pas encore été résolue d’une manière complète, et dans toute sa généralité ; en voici l’énoncé :
Déterminer quelle est la nature de la courbe qui renferme les centres de toutes les sections coniques assujetties à quatre conditions telles que de passer par des points ou de toucher des droites données sur un plan ?
Aux divers cas particuliers dont il a déjà été question dans le présent article, et dont le plus remarquable est, sans contredit, celui qui résulte du théorème cité de Newton sur le quadrilatère circonscrit à une section conique, nous ajouterons les suivans qui, si nous ne nous trompons, n’ont pas encore été démontrés ou résolus :
Les centres de toutes les sections coniques assujetties à passer par quatre points donnés sur un plan sont situés sur une autre section conique passant par les points où se coupent les deux diagonales et les côtés opposés du quadrilatère correspondant aux quatre points donnés.
Les centres de toutes les sections coniques assujetties à toucher deux droites et à passer par deux points donnés sur un plan sont situés sur une autre section conique passant par le point d’inter-
