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RECHERCHES

équation dans laquelle $z$ est un paramètre tout-à-fait indéterminé.

5. Suivant donc les principes du calcul différentiel, l’équation de l’enveloppe de tous les rayons réfractés, c’est-à-dire, l’équation de la caustique, sera^[1] le résultat de l’élimination de $z$ entre cette dernière équation et sa différentielle, prise uniquement par rapport à cette lettre. Cette différentielle est, toutes réductions faites,

$k^{2}x-m^{2}z^{3}=0.$

Pour éliminer facilement $z$ entre elle et l’équation primitive du rayon réfracté, nous les résoudrons par rapport à $x$ et $y,$ ainsi que nous l’avons déjà fait dans une circonstance analogue (tom. V, pag. 288). Cette dernière donne immédiatement la valeur de $x\,;$ et, en la substituant dans l’autre, on obtient

$x={\frac {m^{2}z^{3}}{k^{2}}},\qquad y=-{\frac {\left(k^{2}-m^{2}z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{nk^{2}}}\,;$

d’où résulte

$\left({\frac {mx}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}={\frac {m^{2}z^{2}}{k^{2}}},\qquad \left({\frac {ny}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=1-{\frac {m^{2}z^{2}}{k^{2}}}\,;$

ajoutant donc ces deux équations membre à membre, nous aurons pour celle de la caustique cherchée

$\left({\frac {mx}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {ny}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.$

6. Or, il est connu (tom. V, pag. 288) que l’équation d’une ellipse étant

1. Voyez la page 361 du III.^e volume de ce recueil.